ISSN 2409-546X
ПИ № ФС77-61102
8-800-555-1487

Геометрия Лобачевского. Мифы и реальность

Библиографическое описание: Талапчук А. С., Лысогорова Л. В. Геометрия Лобачевского. Мифы и реальность // Юный ученый. — 2018. — №1.1. — С. 78-79. URL: http://yun.moluch.ru/archive/15/1171/ (дата обращения: 24.09.2018).





 

В статье рассматривается применение неевклидовой геометрии в современной жизни. Сам Лобачевский пытался рассмотреть свою теорию в рамках геометрии (пятого постулата), но другие области нашей жизни активно используют положения его теории. Это и физика, и астрономия, и искусство (живопись и архитектура), и игровая индустрия.

Ключевые слова: геометрия, евклидова геометрия, неевклидова геометрии, геометрия Лобачевского.

 

7 февраля 1832 года Николай Лобачевский представил на суд коллег свой первый труд по неевклидовой геометрии. Этот день стал началом переворота в математике, а работа Лобачевского – первым шагом к теории относительности Эйнштейна. "Российская газета" собрала пятерку самых распространенных заблуждений о теории Лобачевского, бытующих среди далеких от математической науки людей

Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой.

На самом деле геометрия Лобачевского отличается от привычной нам Евклидовой только пятым постулатом. И геометрия Евклида частный случай геометрии Лобачевского.

Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются.

Пятый постулат Лобачевского звучит так: «На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную». О параллельных прямых речи нет. Это неправильное толкование.

Миф третий. Геометрия Лобачевского – единственная неевклидова геометрия.

Неевклидовы геометрии – это целый пласт теорий в математике, где основой является отличный от Евклидова пятый постулат. Лобачевский, в отличие от Евклида, к примеру, описывает гиперболическое пространство. Существует еще теория, описывающая сферическое пространство – это геометрия Римана. Вот в ней-то как раз параллельные прямые пересекаются. Классический тому пример из школьной программы – меридианы на глобусе.

http://poznayka.org/baza1/1479607307495.files/image079.gif

Если посмотреть на лекало глобуса, то окажется, что все меридианы параллельны. Меж тем, стоит нанести лекало на сферу, как мы видим, что все ранее параллельные меридианы сходятся в двух точках – у полюсов. Геометрия Римана применяется на практике – например в астрономии, для описания звездного неба, представляя, что звезды как бы находятся на сфере вокруг Земли. Да и сама Земля имеет форму шара.

Вместе теории Евклида, Лобачевского и Римана называют «три великих геометрии».

Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни.

Современная наука приходит к пониманию, что Евклидова геометрия – лишь частный случай геометрии Лобачевского, и что в реальный мир точнее описывается именно формулами русского ученого. Сильнейшим толчком к дальнейшему развитию геометрии Лобачевского стала теория относительности Альберта Эйнштейна, которая показала, что само пространство нашей Вселенной не является линейным, а представляет собой гиперболическую сферу. Была установлена связь геометрии Лобачевского с физикой, а именно кинематикой – специальной (частной) теории относительности. Геометрия Лобачевского используется в астрономии: при описании голографической Вселенной или черных дыр. Интересно применение в игровой индустрии: игра «Жизнь» (модель зарождения жизни во «Вселенной») или HyperRogue (гибрид паззла и рогалика на гиперболической плоскости). Применяется геометрия Лобачевского в живописи. В 2013 году в московском Музее современного искусства прошла выставка Маурица Корнелиса Эшера. Нидерландский художник-график известен благодаря своим работам, где он использует различные математические понятия, приемы и теории: пределы, ленты Мебиуса, геометрию Лобачевского.

Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию.

Вместе с Лобачевским и независимо от него к подобным выводам пришли венгерский математик Янош Бойяи и знаменитый немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс. Однако труды Яноша не были замечены широкой публикой, а Карл Гаусс и вовсе предпочел не издаваться. Поэтому именно наш ученый считается первопроходцем в этой теории.

Кстати, есть парадоксальная точка зрения – неевклидову геометрию придумал сам Евклид. Основана она на том, что он самокритично считал свой 5-й постулат неочевидным, поэтому большую часть своих теорем доказал, не прибегая к нему [2].

Фраза «какая геометрия лучше» лишена смысла. Мы бы сказали: геометрия Эвклида малых расстояний. Геометрия Лобачевского расстояний космоса.

Сложность восприятия геометрии Лобачевского для школьников состоит в её не наглядности, трудности представлений. Продемонстрируем геометрию Лобачевского на модели Клейна. Здесь в качестве точек выступают точки внутри круга, в качестве прямых хорды окружности без концевых точек, т. е. без точек, лежащих на окружности (рис.1).

Рис.1

Как видно из рис. 1, для прямой l через точку А можно провести множество прямых не пересекающихся с ней, при этом две крайние, предельные будем называть прямыми, параллельными данной прямой l [1].

Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.

 

Литература:

 

  1.             Ваничкин В.Н., Кенжалиева С.З. Геометрия Лобачевского для школьников на основе теоретико-групповых идей// Актуальные проблемы современного образования Издательство: Астраханское региональное отделение межрегиональной общественной организации «Женщины в науке и образовании» (Астрахань).
  2.             Российская газета от 07.02.2014.
  3.             Лысогорова Л.В. Закономерности процесса обучения математике как основа реализации принципа быстрого продвижения обучающихся в развитии. Молодой ученый. 2016. № 5-6 (109). С. 68-70.

Ключевые слова: геометрия, евклидова геометрия, неевклидова геометрии, геометрия Лобачевского.

Аннотация: В статье рассматривается применение неевклидовой геометрии в современной жизни. Сам Лобачевский пытался рассмотреть свою теорию в рамках геометрии (пятого постулата), но другие области нашей жизни активно используют положения его теории. Это и физика, и астрономия, и искусство (живопись и архитектура), и игровая индустрия

Публикация

№ 1 (15), февраль 2018 г. г.

Скачать выпуск

Автор


Научный руководитель

Рубрика

Спецвыпуск

Год публикации

Социальные комментарии Cackle