ISSN 2409-546X
ПИ № ФС77-61102
8-800-555-1487

К вопросу о решении диофантовых уравнений в старшей школе

Библиографическое описание: Лебедев А. А., Шонин М. Ю., Бекмухометова С. А., Бакитжанов А. С., Пензина И. В., Дегтярева Е. В. К вопросу о решении диофантовых уравнений в старшей школе // Юный ученый. — 2019. — №2. — С. 27-30. URL: http://yun.moluch.ru/archive/22/1383/ (дата обращения: 19.04.2019).





 

Решения алгебраических уравнений весьма широко и разнообразно раскрывается в школьном курсе математики. Однако мало внимания уделяется задачам на поиск целочисленных корней алгебраических уравнений двух и более переменных с целыми коэффициентами. Так проведенный анализ учебно-методической литературы средней школы (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов «Алгебра и начала анализа 10–11 классы», С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. «Алгебра и начала математического анализа 10–11 классы», А. Ш. Алимов, Ю. М. Колягин и др. «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. Углубленный уровень») показал отсутствие каких-либо рекомендаций по их решению. Кроме того, мной было отмечено включение данных задач, как в чистом виде, так и в структуре решения той или иной задачи в материалы по формированию банка заданий ЕГЭ (профильная математика 2016–2018 годов), математических олимпиад различных уровней.

Подобное противоречие позволяет мне прийти к выводу о необходимости тщательного изучения теории и практики решения данных задач. С этой целью сформулируем определение объекта нашего исследования.

Диофантово уравнение — это алгебраическое уравнение нескольких переменных с целыми коэффициентами [1]. Поскольку в содержании ЕГЭ, а также материалах предметной олимпиады наиболее выраженно представлены уравнения 1-й и 2-й степени, либо задания, сводимые к ним, то подробно остановимся на определении и методики их решения.

Линейным диофантовым уравнением (уравнением первой степени) называется равенство вида

(1)

Под решением уравнения (1) понимается пара целых чисел таких, что при подстановке их в данное уравнение вместо и соответственно получается верное числовое равенство [1].

Перед непосредственным процессом поиска решения того или иного линейного диофантово уравнения необходимо убедиться в его наличии. С этой целью сформулируем следующую теорему.

Теорема 1. Диофантово уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда .

Не ставя перед собой цель доказать данное утверждение, остановимся на кратком разборе его содержания. Итак, согласно условию теоремы, если коэффициент делится на НОД коэффициентов и , то уравнение имеет решение. Приведем примеры:

  1.                имеет решение;
  2.                не имеет решения.

Самый простой метод решения — «Метод перебора». Продемонстрируем его на примере текстовой задачи.

Задача 1. Некоторая семья содержит в своей квартире животных (кошки и собаки). На всех вместе приходится 22 ног и лап. Определите, сколько людей и домашних животных проживают в данной квартире.

Решение:

Пусть  — число людей,  — число людей, тогда в соответствие с условием задачи составим уравнение:

(2)

Выразим одну из переменных через другую:

Составим таблицу возможных вариантов.

y

1

2

3

4

5

x

9

7

5

3

1

 

Таким образом, задача имеет следующие решения:

Замечание. Полученные результаты являются частными решениями диофантова уравнения (2).

Последнее замечание поставило перед нами задачу поиска метода нахождения общего решения линейного диофантова уравнения. Второй метод решения — «Метод рассеивания».

Задача 2. Решить в целых числах уравнение

Решение:

имеет решение.

Выразим компоненту с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом

Выразим , выделяя целую часть переменной

Тогда обозначив , получим . При этом очевидно, что . Выразим

Полагая, что получаем и .

Таким образом, данная задача имеет следующее множество решений при всех .

Следующий метод, который мы предлагаем рассмотреть это решение диофантовых уравнений при помощи алгоритма Евклида. Логическим продолжением теоремы 1 является следующее следствие.

Следствие. Диофантово уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда

Задача 3. Решить в целых числах уравнение

Решение:

имеет решение.

Воспользуемся алгоритмом Евклида [2], представим число 1 через и .

Тогда очевидно, что

Следовательно, и

Таким образом, данная задача имеет следующее множество целочисленных решений при всех .

В результате можно сделать вывод, что теория решения линейных диофантовых уравнений относится к разделу элементарной математике и предусматривает построения единой логической конструкции последовательных рассуждений с включением в них элементов теории чисел.

Теорию решения линейных диофантовых уравнений можно использовать и для решения более сложных алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Приведем примеры.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение

Решение: Перенесем компоненты в одну сторону и попытаемся разложить полученный многочлен на множители:

Таким образом, становится очевидно, что для того чтобы данное равенство выполнялось в целых числах необходимо чтобы выполнялись следующие условия:

или

Тогда очевидно, что решениями являются пары чисел:

Задача 4. Решите уравнение в целых числах (Петербургские математические олимпиады)

Решение: Разложим левую часть данного уравнения на множители:

Тогда, на основе предыдущей задачи и поскольку число - простое, получаем:

(a) или (b) или (c) или (d)

Системы a и d не имеют целочисленных решений. С другой стороны, b — ; c —

Теория диофантовых уравнений имеет множества приложений. Рассмотрим следующую задачу.

Задача 5. Решите уравнение (ЕГЭ, 2017)

Решение: Поскольку , то данное уравнение равносильно системе:

Тогда

Найдем пересечение серий решений последней системы:

Пользуясь методом рассеивания, получим и Тогда общее решение системы, а вместе с ним и исходного уравнения является

Таким образом, рассмотрение теории и практики решения диофантовых уравнений позволит мне, с одной стороны, подготовиться к предметной олимпиаде и ЕГЭ по математике, с другой — обогатить личный опыт исследовательской деятельности, как необходимого атрибута моего дальнейшего обучения в высшем учебном заведении.

Выражаю сердечную благодарность моим научным руководителям за поставленную задачу и ценные советы в процессе написания данной исследовательской работы.

 

Литература:

 

  1.                Смолин Ю. Н. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие / Ю. Н. Смолин. -4-е изд., стер. — М.: Флинта, 2012. — 464 с.
  2.                Дэвенпорт Г. Введение в теорию чисел. — М.: Вузовская книга, 2008. — 173 с.
Социальные комментарии Cackle